序

本篇以展示各类常用计算公式为主，具体来由可以小查，但不用过度纠结。

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符号的解释

$\sum_{n=0}^{\infty}$

符号$\sum_{n=0}^{\infty}$表示的是一个无穷级数（也就是无穷个数的和）。具体来说，$\sum_{n=0}^{\infty} a_n$表示的是$a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + \ldots$，即对所有的非负整数$n$，$a_n$的总和。

在这里，$a_n$可以是任何依赖于$n$的表达式或函数。例如，$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}$就表示的是$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots$，这是一个几何级数。

要注意的是，无穷级数可能并不总是收敛的，也就是说，它们的和可能不是一个有限的数。对于无穷级数是否收敛，以及如果收敛，它们收敛于什么值，这是研究级数的重要问题。对于特定的无穷级数，有多种数学工具可以用来确定它们是否收敛，以及它们的和是多少。

导数的概念

在微积分中，导数的概念是用来衡量一个函数在某一点处的变化率。形象地说，对于实数函数，导数可以理解为函数图像在该点的切线的斜率。在函数$y = f(x)$中，导数是函数$f(x)$在某点$x$处的切线斜率，记为$\frac{dy}{dx}$或$f'(x)$。

具体到$\frac{dy}{dx}$这个符号，其含义可以这样理解：

• "$\frac{dy}{dx}$"这个符号是由莱布尼茨创立的，其目的是强调导数是比率或斜率的概念。在物理学中，这种表达方式往往更直观，更能表达出微分学的几何或物理意义。
• "$d$"的含义通常被理解为"微小的改变"，所以"$dx$"表示$x$的微小改变，"$dy$"表示$y$的微小改变。
• "$\frac{dy}{dx}$"则表示当$x$发生微小改变时，$y$随之改变的程度，即函数$f(x)$在$x$处的变化率或斜率。

所以，$\frac{dy}{dx}$的意思是“$y$关于$x$的导数”。

微分的用途

微分学是数学的一个重要分支，它有着广泛的应用。下面是一些微分学的主要用途：

1. 寻找最值和解决优化问题：在经济学、物理学、工程学等许多领域，我们经常需要找出函数的最大值或最小值。微分学提供了一种方法，通过寻找函数的导数等于零的点，我们可以找出可能的最大值和最小值。

2. 建立模型并进行预测：在物理学中，微分方程经常被用于描述物理过程，例如牛顿第二定律就是一个微分方程。在生物学和经济学中，微分方程也常用于建立动态模型。然后通过解微分方程，我们可以对未来进行预测。

3. 理解并描述变化率：微分的基本概念是导数，表示的是函数在某一点的变化率。例如，物理中的速度就是位移关于时间的导数，加速度是速度关于时间的导数。

4. 在计算机图形学中的应用：微分被用于计算机图形学中的许多应用，如曲线和曲面的建模，材质的渲染等。

5. 在机器学习和人工智能中的应用：在机器学习和人工智能中，梯度下降等优化算法需要用到微分来更新参数并最小化损失函数。

总的来说，微分学是许多科学、工程和数学问题的基础工具。

微分公式解读

在微积分中，符号"$|_{x=-1}$"表示"在$x=-1$处"。因此，表达式"$dy|_{x=-1}$"的意思是函数$y$关于$x$的微分在$x=-1$处的值。换句话说，它表示当$x=-1$时，$y$随$x$的微小改变而变化的量，也可以理解为函数$y=f(x)$在$x=-1$处的切线的斜率。

微分运算法则

以下是微积分中常用的一些求导法则：

1. 幂法则：如果 $f(x) = x^n$，那么 $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$。

2. 常数法则：如果 $f(x) = c$，其中 $c$ 是一个常数，那么 $f'(x) = 0$。

3. 常数乘法法则：如果 $f(x) = c \cdot g(x)$，其中 $c$ 是一个常数，那么 $f'(x) = c \cdot g'(x)$。

4. 和差法则：如果 $f(x) = g(x) \pm h(x)$，那么 $f'(x) = g'(x) \pm h'(x)$。

5. 乘法法则（乘积法则）：如果 $f(x) = g(x) \cdot h(x)$，那么 $f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)$。

6. 除法法则（商法则）：如果 $F(x) = \frac{g(x)}{f(x)}$，那么 $F'(x) = \frac{g'(x) \cdot f(x) - g(x) \cdot f'(x)}{(f(x))^2}$。

7. 链式法则：如果 $f(x) = g(h(x))$，那么 $f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$。链式法则用于复合函数的导数。

8. 三角函数的导数：

   • $\frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x)$
   • $\frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x)$
   • $\frac{d}{dx} \tan(x) = \sec^2(x)$
   • $\frac{d}{dx} \sec(x) = \sec(x)\tan(x)$
   • $\frac{d}{dx} \csc(x) = -\csc(x)\cot(x)$
   • $\frac{d}{dx} \cot(x) = -\csc^2(x)$

9. 指数和对数函数的导数：

   • $\frac{d}{dx} e^x = e^x$
   • $\frac{d}{dx} a^x = a^x \ln(a)$ （$a > 0$，$a \neq 1$）
   • $\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}$
   • $\frac{d}{dx} \log_a(x) = \frac{1}{x \ln(a)}$ （$a > 0$，$a \neq 1$）

这些法则是微积分中的基础，用于求解各种函数的导数。这些法则的证明都基于微分（导数）的定义，即函数在某点的极限。

常用速算公式

因式分解

1. 平方差公式： $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

2. 立方差公式（巴比伦恒等式）： $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

3. 完全平方公式： $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$

4. 完全立方公式： $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a + b)^3$

5. 差平方公式： $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

6. 二次三项式公式： $ax^2 + bx + c = (mx + n)(px + q)$

立方差立方和公式

立方差公式：$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

立方和公式： $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

二次立方和公式： $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a + b)^3$

三角函数

$\cos(\frac{\pi}{3})=cos60^o=0.5$

当角度在0到$\frac{\pi}{2}$之间(0~90°)时，常用三角函数的值如下：

角度（Radians）	正弦（sin）	余弦（cos）	正切（tan）
$0$	$0$	$1$	$0$
$\frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
$\frac{\pi}{2}$	$1$	$0$	无穷大